ex. 3.35 (*)

Mediu-se a temperatura corporal numa amostra de 36 caranguejos. A amostra dos caranguejos apresentou uma temperatura média de 25.03ºC e um desvio padrão corrigido de 1.34ºC.

Assumindo que os dados são normalmente distribuídos, teste para $\alpha = 0.05$ se a variância da temperatura dos caranguejos é superior a 1ºC.

• Sugestão: no sentido de melhor assimilar os diferentes procedimentos para realização dos testes de hipóteses apresente as várias alternativas de resolução.

(a) Identifique os dados no enunciado.

☞ sugestões

• O que é estudado em cada «indivíduo»? O que mede X em cada indivíduo? $X = .....$

• O que significa «normalmente distribuído»?

• Qual a média populacional (ou valor esperado)?

• Qual o desvio padrão populacional?

• Qual a média amostral?

• Qual a dimensão da amostra?

☞ proposta de resolução

Caracterização da população (i.e., o modelo matemático escolhido)

• X = «temperatura corporal de um caranguejo»

• $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ (ambos os parâmetros são desconhecidos)

Medidas amostrais

• $\bar x=372.5$

• $s_c=1.34$

• $n=36$

(b) Especifique as hipóteses em teste.

☞ sugestões

Para especificar as hipóteses identifica-se:

• a hipótese nula, H0, que usa «=»;

• a hipóteses alternativa, H1, que pode usar uma das relações: $>,\; <,\; \neq$

• qual o parâmetro em estudo?

☞ proposta de resolução

O parâmetro populacional em estudo é a variância populacional.

$$H_0\;:\; \sigma^2 = 1 \quad vs \quad H_1\;:\; \sigma^2 > 1$$

(c) Qual a estatística de teste?

(e) Qual a estatística de teste?

☞ sugestões

Etapas:

• Quais são os pressupostos conhecidos neste enunciado?

• Como se pretende um teste para a média, $\mu$, temos duas estatísticas de teste à escolha. Qual é a mais apropriada?

1. Estatística Z

$$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim \; N(\mu,\sigma^2/n)$$

2. Estatística t

$$T = \frac{\bar X - \mu}{s_c/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim \; t_{n-1}$$

• Eboce a distribuição respectiva.

☞ proposta de resolução

Estatística Z

(e) Use o método do p-value para efetuar o teste de hipóteses.

☞ sugestões

Etapas:

1. Determina-se

$$z_{obs} = \frac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0$$

2. Sendo um teste bilateral é necessário marcar, no eixo, $-z_{obs}$ e $z_{obs}$.

3. Determine a soma das probabilidades:

$$P(Z \le -|z_{obs}|) + P(Z \ge |z_{obs}|)$$

4. Conclua.

☞ proposta de resolução

(em falta)

(f) Use o método da Região Crítica para efetuar o teste de hipóteses.

☞ sugestões

• Qual o nível de significância do teste? Isto é, qual o valor de $\alpha$?

Etapas:

1. Como o teste é bilateral determine $z_{critico}>0$ de tal forma que a probabilidade para a frente seja $\alpha/2$.

2. Marque as duas regiões críticas no gráfico da distribuição.

3. Determine $z_{obs}$.

4. Verifique se $z_{obs}$ está na região região crítica

5. Conclua.

☞ proposta de resolução

(em falta)

(g) Use o método do intervalo de confiança para efetuar o teste de hipóteses.

☞ sugestões

1. Determine um IC (ZInterval ou TInterval?) com grau de confiança $1 - \alpha$ (ainda não existe e por isso é preciso calcular).

2. Verifique se $H_0\;:\; \mu=368$ está no referido intervalo.

3. Conclua.

☞ proposta de resolução

(em falta)

FIM