ex. 3.35 (*)

Mediu-se a temperatura corporal numa amostra de 36 caranguejos. A amostra dos caranguejos apresentou uma temperatura média de 25.03ºC e um desvio padrão corrigido de 1.34ºC.

Assumindo que os dados são normalmente distribuídos, teste para \(\alpha = 0.05\) se a variância da temperatura dos caranguejos é superior a 1ºC.

  • Sugestão: no sentido de melhor assimilar os diferentes procedimentos para realização dos testes de hipóteses apresente as várias alternativas de resolução.


(a) Identifique os dados no enunciado.

☞ sugestões

  • O que é estudado em cada «indivíduo»? O que mede X em cada indivíduo? \(X = .....\)

  • O que significa «normalmente distribuído»?

  • Qual a média populacional (ou valor esperado)?

  • Qual o desvio padrão populacional?

  • Qual a média amostral?

  • Qual a dimensão da amostra?

☞ proposta de resolução

Caracterização da população (i.e., o modelo matemático escolhido)

  • X = «temperatura corporal de um caranguejo»

  • \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) (ambos os parâmetros são desconhecidos)

Medidas amostrais

  • \(\bar x=372.5\)

  • \(s_c=1.34\)

  • \(n=36\)


(b) Especifique as hipóteses em teste.

☞ sugestões

Para especificar as hipóteses identifica-se:

  • a hipótese nula, H0, que usa «=»;

  • a hipóteses alternativa, H1, que pode usar uma das relações: \(>,\; <,\; \neq\)

  • qual o parâmetro em estudo?

☞ proposta de resolução

O parâmetro populacional em estudo é a variância populacional.

\[H_0\;:\; \sigma^2 = 1 \quad vs \quad H_1\;:\; \sigma^2 > 1\]

(c) Qual a estatística de teste?

(e) Qual a estatística de teste?

☞ sugestões

Etapas:

  • Quais são os pressupostos conhecidos neste enunciado?

  • Como se pretende um teste para a média, \(\mu\), temos duas estatísticas de teste à escolha. Qual é a mais apropriada?

  1. Estatística Z

\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim \; N(\mu,\sigma^2/n)\]

  1. Estatística t

\[T = \frac{\bar X - \mu}{s_c/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim \; t_{n-1}\]

  • Eboce a distribuição respectiva.

☞ proposta de resolução

Estatística Z


(e) Use o método do p-value para efetuar o teste de hipóteses.

☞ sugestões

Etapas:

  1. Determina-se

\[z_{obs} = \frac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0\]

  1. Sendo um teste bilateral é necessário marcar, no eixo, \(-z_{obs}\) e \(z_{obs}\).

  2. Determine a soma das probabilidades:

\[P(Z \le -|z_{obs}|) + P(Z \ge |z_{obs}|)\]

  1. Conclua.

☞ proposta de resolução

(em falta)


(f) Use o método da Região Crítica para efetuar o teste de hipóteses.

☞ sugestões

  • Qual o nível de significância do teste? Isto é, qual o valor de \(\alpha\)?

Etapas:

  1. Como o teste é bilateral determine \(z_{critico}>0\) de tal forma que a probabilidade para a frente seja \(\alpha/2\).

  2. Marque as duas regiões críticas no gráfico da distribuição.

  3. Determine \(z_{obs}\).

  4. Verifique se \(z_{obs}\) está na região região crítica

  5. Conclua.

☞ proposta de resolução

(em falta)


(g) Use o método do intervalo de confiança para efetuar o teste de hipóteses.

☞ sugestões

  1. Determine um IC (ZInterval ou TInterval?) com grau de confiança \(1 - \alpha\) (ainda não existe e por isso é preciso calcular).

  2. Verifique se \(H_0\;:\; \mu=368\) está no referido intervalo.

  3. Conclua.

☞ proposta de resolução

(em falta)


FIM