Ex. 3.34 (*)

Será que o peso dos ratinhos de laboratório difere, em média, de 368 gramas? Uma amostra ao acaso de 36 animais apresentou uma média de 372.5. Assumindo que os dados são normalmente distribuídos com desvio padrão de 12 gramas, teste para um nível de significância de 0.05 a hipótese em estudo.

  • Sugestão: no sentido de melhor assimilar os diferentes procedimentos para realização dos testes de hipóteses apresente as várias alternativas de resolução.


(a) Identifique os dados no enunciado.

☞ sugestões

  • O que é estudado em cada «indivíduo»? O que mede X em cada indivíduo? \(X = .....\)

  • O que significa «normalmente distribuído»?

  • Qual a média populacional (ou valor esperado)?

  • Qual o desvio padrão populacional?

  • Qual a média amostral?

  • Qua a dimensão da amostra?

☞ proposta de resolução

  • X = «peso de ratinhos de laboratório»

  • \(X \sim N(\mu, \sigma^2=12^2)\)

  • \(\bar x=372.5\)

  • \(n=36\)


(b) Especifique as hipóteses em teste.

☞ sugestões

Para especificar as hipóteses identifica-se:

  • a hipótese nula, H0, que usa «=»;

  • a hipóteses alternativa, H1, que pode usar uma das relações: \(>,\; <,\; \neq\)

  • qual o parâmetro em estudo?

☞ proposta de resolução

\[H_0\;:\; \mu = 368 \quad vs \quad H_1\;:\; \mu \neq 368\]

(c) O que significa nível de significância de 0.05?

☞ proposta de resolução

A decisão é tomada em ambiente de incerteza. O valor de 0.05 é a probabilidade máxima de se cometer um erro de tipo I.

  • \(\alpha= 0.05 = P(\text{rejeitar H0}\;|\;\text{H0 é verdade})\)


(d) Qual a estatística de teste?

☞ sugestões

Etapas:

  • Quais são os pressupostos conhecidos neste enunciado?

  • Como se pretende um teste para a média, \(\mu\), temos duas estatísticas de teste à escolha. Qual é a mais apropriada?

  1. Estatística Z

\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim \; N(\mu,\sigma^2/n)\]

  1. Estatística t

\[T = \frac{\bar X - \mu}{s_c/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim \; t_{n-1}\]

  • Eboce a distribuição respectiva.

☞ proposta de resolução

Estatística Z


(e) Use o método do p-value para efetuar o teste de hipóteses.

☞ sugestões

Etapas:

  1. Determina-se

\[z_{obs} = \frac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0\]

  1. Sendo um teste bilateral é necessário marcar, no eixo, \(-z_{obs}\) e \(z_{obs}\).

  2. Determine a soma das probabilidades:

\[P(Z \le -|z_{obs}|) + P(Z \ge |z_{obs}|)\]

  1. Conclua.

☞ proposta de resolução

(em falta)


(f) Use o método da Região Crítica para efetuar o teste de hipóteses.

☞ sugestões

  • Qual o nível de significância do teste? Isto é, qual o valor de \(\alpha\)?

Etapas:

  1. Como o teste é bilateral determine \(z_{critico}>0\) de tal forma que a probabilidade para a frente seja \(\alpha/2\).

  2. Marque as duas regiões críticas no gráfico da distribuição.

  3. Determine \(z_{obs}\).

  4. Verifique se \(z_{obs}\) está na região região crítica

  5. Conclua.

☞ proposta de resolução

(em falta)


(g) Use o método do intervalo de confiança para efetuar o teste de hipóteses.

☞ sugestões

  1. Determine um IC (ZInterval ou TInterval?) com grau de confiança \(1 - \alpha\) (ainda não existe e por isso é preciso calcular).

  2. Verifique se \(H_0\;:\; \mu=368\) está no referido intervalo.

  3. Conclua.

☞ proposta de resolução

(em falta)


FIM