ex. 3.33 (*)

Numa determinada região foi recolhida uma amostra casual de 300 fetos dos quais 25 estavam infetados com um certo tipo de parasita. Construa um intervalo de confiança a 99% para a proporção de fetos infetados.

(a) Identifique os dados no enunciado.

☞ sugestões

• A população é composta de quê? O que mede $X_i$ em cada indivíduo i? $X_i = .....$ (recorde que $X_i$ deve resultar num número)

• O que é o «sucesso» neste contexto?

• Qual a letra que representa a proporção de sucessos na população?

• Qua a dimensão da amostra?

• Indique uma estimativa pontual para a proporção de fetos infetados? Qual o símbolo usado para a estimativa?

☞ proposta de resolução

• População de fetos; X_i = 1 se o feto está infetado; 0 se o feto não está infetado.

• «sucesso» = «um feto está infetado»

• n=300

• $X=\sum_{i=1}^n X_i$ = número de sucessos. Por exemplo: x=0+1+1+0+1+1+…+0.

• $\hat p = \frac{X}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \frac{25\text{ sucessos}}{300} \approx 0.08333$

• 8.3% dos fetos, na amostra, estão infetados.

(b) A expressão do IC para proporções é

$$IC_{1 - \alpha}(\mu) \approx \left[ \hat p - z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p (1 - \hat p)}{n}}, \hat p + z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p (1 - \hat p)}{n}} \right]$$

Identifique as várias componentes desta expressão para o IC.

☞ sugestões

• consulte inferência sobre proporções

☞ proposta de resolução

• $\hat p$ é a proporção estimada com base na amostra;

• $z_{1-\alpha/2}$ é um quantil da $N(0,\; 1)$ obtido com inv.normal nas calculadoras

• $\sqrt{\frac{\hat p (1 - \hat p)}{n}}$ é o desvio considerando $\hat p$ em denominador:

$$\frac{X/n - p}{p(1-p)/n} = \frac{(\sum_{i=1}^n X_i)/n - p}{p(1-p)/n} \sim_{aprox} N( 0,\; 1 )$$

(c) Quando se pode aplicar esta forma aproximada do IC? Os pressupostos estão verificados?

☞ sugestões

• consulte inferência sobre proporções

☞ proposta de resolução

• a aproximação é boa quando $n \ge 30$ (dando sentido à aplicação do TLC);

• assim, $n = 300$ garante uma boa aproximação.

(d) Determine o IC para a proporção de fetos infectados considerando um grau de confiança de 99%.

☞ sugestões

Para determinar $z_{1-\alpha/2}$ consulte quantis usados em inferência e calculadora gráfica.

☞ proposta de resolução

A dimensão da amostra é suficientemente grande então podemos aplicar a aproximação pelo TLC.

• $\hat p = \frac{25}{300} \approx 0.0833$

• $z_{1-\alpha/2} = z_{0.995} = inv.normal(0.995,0,1) = 2.5758$ pois $\alpha = 1\%$.

$$\begin{align}\begin{aligned}IC_{99\%}(p) \approx \left[\hat p - 2.5758 \sqrt{\frac{\hat p (1 - \hat p)}{300}}, \hat p + 2.5758 \sqrt{\frac{\hat p (1 - \hat p)}{300}} \right]\\IC_{99\%}(p) \approx [0.042,\; 0.124]\end{aligned}\end{align}$$

Ou indicando de outra maneira: $\hat p = 0.08 \pm 0.04$ com 99% de confiança.

(e) Se a confiança baixar para 90% o que ocorre à amplitude do intervalo?

☞ proposta de resolução

O grau de confiança é sempre colocado no centro da distribuição. Como 90% é menor que 99% então essa região tem um menor tamanho conduzindo a um IC de menor amplitude, e então mais preciso, mas perdendo em confiança.