ex. 3.26 (*)

Ao longo da autoestrada A1 são visíveis ninhos em pinheiros. As lagartas do pinheiro constituem uma praga para os animais (incluindo humanos) e até para os próprios pinheiros onde fazem os seus ninhos! Em 2500 pinheiros casualmente selecionados da A1 verificou-se uma proporção de 11% de pinheiros infetados. Com base nesta amostra, pretende inferir se os pinheiros infetados com ninhos de lagartas ao longo da A1 é significativamente superior a 10%. Para inferir tal conjetura, ao nível de significância de 5%, deverá realizar um teste de hipóteses.

(a) Identifique a variável de estudo.

☞ proposta de resolução

(b) Identifique o parâmetro populacional que se pretende inferir e indique uma estimativa desse parâmetro.

☞ proposta de resolução

Pretende-se realizar inferência sobre o parâmetro p:

p=Prob(pinheiro infetado)

O estimador usado é

$\hat p = \frac{1}{n}(\text{número de sucessos})$ sendo n o número total de observações realizado

A estimativa é então:

$\hat p = 0.11$ (um total de $2500 \times 0.11= 257$ pinheiros infetados na amostra)

(c) Indique as hipóteses em causa no teste pretendido e diga se se trata de um teste de hipóteses unilateral ou bilateral.

☞ proposta de resolução

As hipóteses são:

H0: p = 0.10 (por exemplo: é sabido que a proporção de pinheiros infetados anualmente seja de 10%)

H1: p > 0.10 (será que neste ano, a proporção aumentou significativamente?)

tratando-se de um teste unilateral à direita.

Nota: naturalmente que 11% é deterministicamente superior a 10%. Mas será um aumento significativo em termos probabilísticos? Isto é, o que afasta a proporção de 10% para 11% indica uma substancial aumento de pinheiros infetados face aos anos de observação?

A distribuição aproximada (n>30) é: $X \sim_{\text{aprox}} Normal( n\,p, n\,p\,(1-p) )$ .

(d) Diga o que significa dizer «nível de significância de 5%».

☞ proposta de resolução