ex. 3.26 (*)
Ao longo da autoestrada A1 são visíveis ninhos em pinheiros. As lagartas do pinheiro constituem uma praga para os animais (incluindo humanos) e até para os próprios pinheiros onde fazem os seus ninhos! Em 2500 pinheiros casualmente selecionados da A1 verificou-se uma proporção de 11% de pinheiros infetados. Com base nesta amostra, pretende inferir se os pinheiros infetados com ninhos de lagartas ao longo da A1 é significativamente superior a 10%. Para inferir tal conjetura, ao nível de significância de 5%, deverá realizar um teste de hipóteses.
(a) Identifique a variável de estudo.
☞ proposta de resolução
Define-se:
Y = 0 se pinheiro não infetado; 1 se pinheiro infetado (ver distribuição de Bernoulli)
O parâmetro «p»: p = P(sucesso) = P(Y=1)
Do enunciado pode ainda definir-se:
X = número de pinheiros infetados em 2500
X segue Binomial( n=2500, p=Prob(pinheiro infetado) )
(b) Identifique o parâmetro populacional que se pretende inferir e indique uma estimativa desse parâmetro.
☞ proposta de resolução
Pretende-se realizar inferência sobre o parâmetro p:
p=Prob(pinheiro infetado)
O estimador usado é
\(\hat p = \frac{1}{n}(\text{número de sucessos})\) sendo n o número total de observações realizado
A estimativa é então:
\(\hat p = 0.11\) (um total de \(2500 \times 0.11= 257\) pinheiros infetados na amostra)
(c) Indique as hipóteses em causa no teste pretendido e diga se se trata de um teste de hipóteses unilateral ou bilateral.
☞ proposta de resolução
As hipóteses são:
H0: p = 0.10 (por exemplo: é sabido que a proporção de pinheiros infetados anualmente seja de 10%)
H1: p > 0.10 (será que neste ano, a proporção aumentou significativamente?)
tratando-se de um teste unilateral à direita.
Nota: naturalmente que 11% é deterministicamente superior a 10%. Mas será um aumento significativo em termos probabilísticos? Isto é, o que afasta a proporção de 10% para 11% indica uma substancial aumento de pinheiros infetados face aos anos de observação?
A distribuição aproximada (n>30) é: \(X \sim_{\text{aprox}} Normal( n\,p, n\,p\,(1-p) )\).
(d) Diga o que significa dizer «nível de significância de 5%».
☞ proposta de resolução
O nível de significância é a probabilidade fixada para se cometer um erro de tipo 1, isto é, de rejeitar H0 sendo H0 verdadeira.