ex. 6.11 (*)

Pretende-se avaliar se a reprodução dos melros está associada ao tipo de habitat.

Para esse fim:

• foram marcados 30 ninhos no habitat agrícola e 35 no habitat florestal;

• dos 30 foram bem sucedidos 20 e dos 35 foram bem sucedidos 10.

Realize o teste de hipóteses apropriado.

(a) Indique as hipóteses em teste.

☞ sugestões

Estamos perante um teste de homogeneidade.

No teste de homogeneidade fixa-se o tamanho da amostra em cada uma das subpopulações (i.e., as quantidades marginais da tabela de contingência).

Depois seleciona-se uma amostra dentro de cada subpopulação com a dimensão escolhida em cada subpopulação.

Assim:

• 30 ninhos no habitat agrícola (subpopulação «habitat agrícola»)

• 35 ninhos no habitat florestal (subpopulação «habitat florestal»)

No início da experiência tem-se:

	sim, reproduziu	não reproduziu
habitat agrícola			30
habitat florestal			35

Posteriormente, foram contabilizados os casos que vão preencher a tabela de contingência. Esta por sua vez vai alimentar a resolução da próxima alínea.

☞ proposta de resolução

As hipóteses são:

• H0: a distribuição da reprodução é homogénea nos dois habitats (a reprodução não depende do habitat)

• H1: a distribuição da reprodução não é homogénea (a reprodução dependende do habitat)

(b) Efetue o teste adequado, ao nível de significância de 5%.

☞ sugestões

Trata-se de um teste de homogeneidade a efetuar com o teste do qui quadrado (ver teste de homogeneidade).

☞ determinação da tabela de contingência

O enunciado diz que:

• Foram marcados 30 ninhos no habitat agrícola e 35 no habitat florestal.

• Dos 30 foram bem sucedidos 20 e dos 35 foram bem sucedidos 10.

	sim, reproduziu	não reproduziu	total
habitat agrícola	20		30
habitat florestal	10		35
total marginal:

e agora termina-se a tabela:

	sim, reproduziu	não reproduziu	total
habitat agrícola	20	10	30
habitat florestal	10	25	35
total marginal:	30	35	65

☞ determinação dos valores esperados

Os valores esperados são obtidos sob a hipótese H0 em que há homogeneidade face ao fator e obtém-se com base nos produtos:

$$e_{ij} = \frac{ n_{i \bullet} \times n_{\bullet j} }{n}$$

e que $n=65$:

• $e_{11} = \frac{ n_{1 \bullet} \times n_{\bullet 1} }{n} = \frac{30 \times 30}{65}=13.846$

• $e_{12} = \frac{ n_{1 \bullet} \times n_{\bullet 2} }{n} = \frac{35 \times 30}{65}=16.1539$

• $e_{21} = \frac{ n_{2 \bullet} \times n_{\bullet 1} }{n} = \frac{30 \times 35}{65}=16.1539$

• $e_{22} = \frac{ n_{2 \bullet} \times n_{\bullet 2} }{n} = \frac{35 \times 35}{65}=18.84615$

☞ determinação da estatística de teste

A estatística do teste do qui-quadrado para a homogeneidade é:

$$\chi^2_{obs} = \sum_{\text{pares }(i,j)} \frac{ (n_{ij} - e_{ij})^2 }{ e_{ij} }$$

Tem-se 4 células na tabela com ($r=2$ (rows) e $c=2$ (columns)). A estatística de teste é a soma de quatro parcelas:

$$\chi^2_{obs}= \text{parcela}_{11} + \text{parcela}_{12} + \text{parcela}_{21} + \text{parcela}_{22}$$

sendo:

• $p11 = (20 - 13.846)^2/13.846 = 2.73521$

• $p12 = (10 - 16.1539)^2/16.1539 = 2.344356$

• $p21 = (10 - 16.1539)^2/16.1539=2.344356$

• $p22 = (25 - 18.84615)^2/18.84615=2.009422$

e por fim:

$$\begin{split}\begin{eqnarray*} \chi^2_{obs} & = & 2.73521 + 2.344356 + \\ & & + 2.344356 + 2.009422 = & = & 9.433344 \end{eqnarray*}\end{split}$$

☞ determinação do p-value

$$\text{p-value} = CDF.chisq( lower=9.433, upper=+infinito, df=1) =0.002131154$$

em que

• graus de liberdade = $(r-1) \times (c-1) = (2-1)\times (2-1) = 1$ grau de liberdade (df=1)

• r = «row» = nr. linhas

• c = «column» = nr. de colunas

☞ conclusão e pressupostos

Como o p-value é inferior aos níveis usuais de significância então rejeita-se a hipótese de homogeneidade. Ou seja, a distribuição da reprodução depende do habitat do ninho: as probabilidade $P(reproducao | agricola)$ e $P(reproducao | florestal)$ diferem significativamente.

Recordando, se o número total de observações é

• $n \le 20$ então as frequências esperadas $e_{ij}$ não devem ser inferiores a 5 unidades;

• $n > 20$ então não devem existir mais de 20% de células com frequências esperadas $e_{ij}$ inferiores a 5 unidades e nenhuma célula deve ter frequência esperada inferior a 1.

No exemplo, $n=65$ ninhos e $e_{ij} > 5$, em todas as células, e deste modo os pressupostos que minoram uma tomada de decisão errada devido à aproximação da distribuição estão verificados.