ex. 5.15

Foi efetuada uma análise de regressão linear relacionando variáveis x, a variável independente, e Y|x, a variável que dependende de x.

Os resultados estão nas seguintes tabelas:

(a) Qual a equação da reta de regressão?

☞ solução

y=7.242 + 1.004 x

As estimativas (e sua notação) são: $\hat \beta_0=7.242$ e $\hat \beta_1=1.004$ (há um erro no pdf-papel)

(b) Teste se a ordenada na origem é significativamente diferente de zero, fixando $\alpha = 0.05$ sabendo que são n=36 pontos na amostra. Na sua resposta:

• 1. Escreva as hipóteses em causa: H0 vs H1.

• 2. Qual o valor observado da estatística de teste?

• 3. Qual o p-value do teste?

• 4. O que conclui?

☞ solução

A notação usual diz que $\beta_0$ é a ordenada na origem.

$$H_0:\beta_0=0 \text{ vs } H_1:\beta_0\neq0$$

O valor da estatística de teste $t_{obs}$ do coeficiente $\beta_0$ é obtido na coluna «t»: 1.970 e corresponde a $\hat \beta_0 / \hat \sigma_0$.

O p-value é 0.057; assim, não se rejeita a hipótese de ordenada na origem ser nula, isto é, considera-se a possibilidade da reta regressão ter a forma $y=\beta_1 x$.

(c) Utilizando o Intervalo de Confiança fornecido na tabela, teste se o declive é significativamente diferente de 1.

☞ solução

Não se rejeita $H_0:\beta_1=1$ pois $\beta_1=1 \in [0.026,\;1.182]$.

O grau de confiança do IC é 95% e o teste de hipóteses está a ser pedido com nível de significância de 5% (só pode ser 5%).

(d) Qual o valor do coeficiente de determinação? O que significa esse valor.

☞ solução

$R^2=0.799$.

Aproximadamente 80% da variação em Y depende linearmente da variação em x. os restantes 20% da variabilidade de Y deve-se a erros da observação face ao modelo da reta.