ex. 5.13

Pretende-se relacionar as variáveis nível de dor após 30 minutos (x) e nível de dor após 60 minutos (y) para um grupo de mulheres em trabalho de parto. Para tal construiu-se o seguinte gráfico baseado em 36 observações:

(a) Indique o tipo de gráfico apresentado na figura anterior.

☞ sugestões

a refletir

☞ solução

Gráfico de dispersão.

(b) Os quadros seguintes mostram uma análise de correlação utilizando os coeficientes de Pearson e de Spearmann. Qual dos dois coeficientes utilizaria para relacionar estas variáveis e porquê?

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A reflectir.

☞ solução

Ambos os coeficientes apresentam um valor semelhante ($\approx 0.89$); observando o gráfico de dispersão sugere-se mencionar o coeficiente de correlação de Pearson devido à linearidade forte ($\approx 0.89$).

Note que realizar inferência com o coeficiente de Pearson exige a normalidade dos dados mas que é verificada na alínea (i).

(c) Ao nível de significância de 5% que conclusão tira do quadro anterior?

☞ sugestões

A reflectir.

☞ solução

Ambos os coeficientes apontam correlação significativa dado os seus valores-p serem nulos. Escolhendo o coeficiente de Pearson tal indica as variáveis são significativamente linearmente correlacionadas.

(d) Efetuou-se uma análise de relação linear entre as variáveis (x) e (y) indicadas no enunciado e os resultados estão nas seguintes tabelas. Qual a equação da reta de regressão?

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A reflectir.

☞ solução

$y=7.242 + 1.004 x$.

(e) Teste se a ordenada na origem é significativamente diferente de zero, fixando $\alpha = 0.05$. Na sua resposta:

(e-i) Escreva as hipóteses em causa.

☞ sugestões

A reflectir.

☞ solução

$\beta_0$ é a ordenada na origem;

$$H_0:\beta_0=0 \text{ vesus } H_1:\beta_0 \neq 0$$

(e-ii) Qual o valor observado da estatística de teste?

☞ sugestões

A reflectir.

☞ solução

$t_{\beta_0,obs}=\text{t(Constant)}=1.970$

Este valor é obtido tamb+em com os valores da estimativa e erro padrão (no quadro):

$$t_{\beta_0,obs} = \frac{\hat \beta_0}{\hat\sigma_0} = \frac{7.242}{3.676} = 1.97$$

(e-iii) Qual o p-value do teste?

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A reflectir.

☞ solução

Resposta: o valor-p, bilateral, é 0.057 conforme o quadro (1ª linha).

Este valor é obtido com base no $t_{\beta_0,obs}$ que sendo positivo leva a calcular o «meio valor-p» do lado direito da distribuição t com n-2=36 -2 = 34 graus de liberdade.

$$\text{meio valor-p} = \text{CDF.T(lower=0.057,upper=10E10, df=34)} = 0.02851379$$

Assim, 2x0.02851379 = valor-p bilateral = 0.057.

(e-iv) O que conclui?

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A reflectir.

☞ solução

A ordenada na origem pode ser nula. Em média, as mulheres em trabalho de parto que não têm dor aos 30 minutos ainda estão ser dor aos 60 minutos assinlando nível 0 de dor em ambas as situações.

(f) Utilizando o Intervalo de Confiança fornecido na tabela, teste se o declive é significativamente diferente de 1.

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A reflectir.

☞ solução

Não se rejeita $H_0:\beta_1=1$ pois $\beta_1=1\in [0.026,\;1.182]$ com $\alpha=5\%$.

Atenção que esta conclusão só é válida para o nível de significância de 5% pois o IC foi construído com 95% de grau de confiança.

(g) Qual o valor do coeficiente de determinação? O que significa esse valor.

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☞ solução

$R^2=0.799$. Aproximadamente 80% da variação em Y (dor aos 60 min) depende linearmente da variação em x (dor aos 30 min).

(h) O que pode dizer sobre a distribuição dos resíduos com base no seguinte gráfico e nos testes de ajustamento à Normal.

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A reflectir.

☞ solução

Os pontos estã próximos à reta e o p-value do teste K.S. indicam que se rejeita a normalidade dos dados.