ex. 4.06
Considere o ficheiro rolhas.csv que contém os valores de várias variáveis medidas num conjunto de 150 rolhas. Uma dessas variáveis é a classe a que pertence a rolha e que tem que ver com a qualidade geral da rolha (Super, Normal, Pobre). Outra das variáveis é o número de defeitos observados em cada rolha (N\_A). Pretende-se estudar se o número de defeitos está relacionado com a qualidade da rolha.
(a) Comente o gráfico de caixas de bigodes comparativas em relação à posição relativa do nº total de defeitos vs classe da rolha.
Há evidêencia de diferenças comparando as várias classes de rolhas em
relação ao número de defeitos nas rolhas; a qualidade parece afetar essa
qualidade.
(b) Avalie a possibilidade de efectuar uma ANOVA paramétrica aos dados (\alpha=0.05) com base nos seguintes QQ-Plot para a distribuição normal.
Nos três gráficos há proximidade dos pontos aos segmentos de reta; assim
podemos concluir que em cada uma das três classes ocorre o ajustamento
dos dados (nº de defeitos) à normal, estando assim validado este requisito
para se efetuar uma ANOVA paramétrica
(c) Foi efetuado o teste de Bartlett e o teste de Levene para testar a homogeneidade de variâncias, com \alpha=0.05. Comente os resultados dos dois testes.
Sendo os grupos normais o teste de Bartlett é o favorável. Neste caso os
pressupostos não seria verificados e teria que se avançar para um teste
não paramétrico ou ainda discutir se a média é uma medida tão importante
neste contexto. Vale a pena, em média, comprar rolhas «normais»? Ou as
«pobres» já são suficientes?
Se for pelo Teste de Levene, preferido quando não há certeza da
normalidade, então p=0.074 > 0.05, pelo que não se rejeita a
hipótese de homogeneidade da variância entre os grupos.
(d) Foi efetuada uma ANOVA paramétrica aos dados:
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
CLASS 2 51016 25508 69.24 <2e-16
Residuals 147 54152 368
(d-i) Escreva as hipóteses em causa, identificando previamente se o modelo é de efeitos fixos ou aleatórios.
H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu vs H_1: \mu_i \neq \mu,
para algum i.
(d-ii) Registe o valor observado da estatística de teste.
(d-iii) Registe o valor-p do teste.
(d-iv) Decida e conclua.
Como p<0.05, rejeita-se a hipótese da igualdade das diferentes
classes a que pertencem as rolhas (indicadoras da maior ou menor
qualidade), i.e, conclui-se que o nº de defeitos das rolhas depende da
qualidade das rolhas (em consonância com a análise dos QQ-plots).
(e) Foi efetuada uma análise (emph{Post-hoc}) de comparações múltiplas utilizando os métodos de Bonferroni e de Tukey para \alpha=0.05.
O que pode concluir?
data: dados$N_A and dados$CLASS
Pobre 8.5e-07 -
Super 6.8e-09 < 2e-16
P value adjustment method: bonferroni
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = N_A ~ CLASS, data = dados)
$CLASS
Pobre-Normal 20.66 11.57128 29.74872 9e-07
Super-Normal -24.46 -33.54872 -15.37128 0e+00
Super-Pobre -45.12 -54.20872 -36.03128 0e+00
Ambos os testes chegam às mesmas conclusões: em todas as 3 comparações
possíveis (super-normal, super-pobre e normal-pobre) é rejeitada a
hipótese de igualdade das médias respectivas.
(a)
dados = read.csv("https://sweet.ua.pt/pedrocruz/dados/rolhas.csv")
str(dados)
#Construir caixas de bigodes comparativas
boxplot(N_A ~ CLASS, data=dados, pch=20, main="Caixas de bigodes comparativas", xlab=paste("Qualidade da rolha"), ylab=paste("n. total de defeitos"), col="lightgray")
(b)
par(mfrow=c(1,3)) # preparar para obter 3 gráficos numa mesma linha
grupo1=subset(dados, dados$CLASS=="Super")
qqnorm(grupo1$N_A, pch=20, main=paste("grupo",grupo1$CLASS[1]) )
qqline(grupo1$N_A, col="red",lwd=2) #adiciona uma reta ao QQ-plot da normal
grupo2=subset(dados, dados$CLASS=="Normal")
qqnorm(grupo2$N_A, pch=20, main=paste("grupo",grupo2$CLASS[1]) )
qqline(grupo2$N_A, col="red",lwd=2)
grupo3=subset(dados, dados$CLASS=="Pobre")
qqnorm(grupo3$N_A, pch=20,main= paste("grupo",grupo3$CLASS[1]) )
qqline(grupo3$N_A, col="red",lwd=2)
(c)
bartlett.test(N_A ~ CLASS, data=dados) # Teste de Bartlett
# Para usar o Teste de Levene deverá aplicar previamente a anova...
install.packages("car") #Pode levar algum tempo na primeira vez.
# Carregar biblioteca onde está o teste de Levene.
library(car)
# Anova a 1 fator
resultado=aov(N_A ~ CLASS, data=dados)
leveneTest(resultado)
(d)
resultado=aov(N_A ~ CLASS, data=dados)
summary(resultado)
(e)
# NOTA: se se assume igualdade de variancia então pool.sd=T, senão pool.sd=F
pairwise.t.test(dados$N_A, dados$CLASS, p.adjust="bonferroni",pool.sd = T)
TukeyHSD(resultado) # método de Tukey