ex. 1.30 (*)

Relativamente à concentração de nutrientes (g/cm3) nas águas de um rio, analisaram-se 200 amostras de 1 cm3 de água. Dos dados verificou-se que:

Indique, justificando, o valor lógico da seguinte afirmação

«pelo menos 40 amostras registaram uma concentração de 0,5 g/cm3»

proposta de resolução

O quantil de ordem 2/5, ou 40%, é um valor em (g/cm3) que verifica as duas condições em baixo.

Seja esse valor representado por \(x_{0,4}\) e as condições são:

  • pelo menos 40% das observações são iguais ou inferiores a \(x_{0,4}\)

  • pelo menos 60% das observações são iguais ou superiores a \(x_{0,4}\)

Seguindo a mesma definição para quantil de ordem 3/5, ou 60%, e seja esse valor representado por \(x_{0,6}\). As condições são:

  • pelo menos 60% das observações são iguais ou inferiores a \(x_{0,6}\)

  • pelo menos 40% das observações são iguais ou superiores a \(x_{0,6}\)

Um exemplo da situação, com 200 amostras, pode ser este caso limite em que os quantis marcam o início e o fim das observações com 0,5 g/cm3:

0,1

0,1

\(x_{0,4}\) =0,5

0,5

\(x_{0,6}\) =0,5

0,8

0,8

Assim, entre \(x_{0,4}\) e \(x_{0,6}\) existem 20% de observações a que correspondem \(200 \times 20\% = 40\) valores observados.

Porém, num outro exemplo «extremo», consideramos uma amostra só com valores 0,5 g/cm3:

0,5

0,5

\(x_{0,4}\) =0,5

0,5

\(x_{0,6}\) =0,5

0,5

0,5

vemos que mais de 20% das observações são iguais a 0,5, i.e., todas as 200.

Portanto, mais de 40 amostras, nas 200, são iguais a 0,5 e deste modo verificamos que a proposição é verdadeira.