Parte 6 : sextos e hexos

Números sextos(o primeiro e os outros)

Definição { sexto }:
O primeiro sexto é o sexto número;
A soma de um sexto com seis unidades é um sexto.
Notação { sexto de ordem n, sn }:
s1 := 6
sn+1 := sn + 6

Propriedade:
O sexto de ordem n é 6 vezes o número n.
Notação:
sn = 6 x n
s5 = 6 x 5
Porque:
O primeiro sexto é seis vezes a unidade;
Somar seis unidades, equivale a somar uma unidade a cada uma das seis ocorrências do número n.
s5 = 6 x 5
s6 = 6 x (5 + 1)
Portanto:
Todos os sextos são pares.

Números hexagonais centrados - hexos (o primeiro e os outros)

Definição { hexo }:
A unidade é o primeiro hexo;
A soma de um hexo com o sexto da mesma ordem é um hexo.
Notação { hexo de ordem n, hn }:
h1 := 1
hn+1 := hn + sn
h6 := h5 + s5

Propriedade:
O hexo de ordem n+1 é a soma dos n primeiros sextos mais a unidade.
Notação:
hn+1 = s1 + s2 + s3 + ... + sn + 1
Porque:
Somar um hexo equivale a somar seis vezes um número.
h5 = s1 + s2 + s3 + s4 + 1
h6 = h5 + s5
    = s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + 1
Portanto:
Todos os hexos são ímpares.

Propriedade:
O hexo de ordem n+1 é a soma de três prónicos de ordem n mais a unidade.
Notação:
hn+1 = 3 x pn + 1
h6 = 3 x p5 + 1

Portanto:
O hexo de ordem n+1 é a soma de seis triângulos de ordem n mais a unidade.
Notação:
hn+1 = 6 tn + 1
h6 = 6 t5 + 1

Propriedade:
O hexo de ordem n+1 é a soma do quadrado de ordem n+1
com dois quadrados de ordem n, mais o número n.
Notação:
hn+1 = (n+1)2 + 2 x n2 + n
h6 = 62 + 2 x 52 + 5

Portanto:
O hexo de ordem n+1 é a soma do quadrado de ordem n+1
com o quadrado de ordem n, mais o prónico de ordem n.
Notação:
hn+1 = (n+1)2 + n2 + pn
h6 = 62 + 52 + p5

Propriedade:
O hexo de ordem n+1 é a soma de três quadrados de ordem n
com três vezes o número n, mais a unidade.
Notação:
hn+1 = 3 x n2 + 3 x n + 1
h6 = 3 x 52 + 3 x 5 + 1

Propriedade:
O hexo de ordem n+1 é a soma do quadrado de ordem n
com n+1 vezes o ímpar de ordem n+1.
Notação:
hn+1 = n2 + (n+1) x in+1
h6 = 52 + 6 x i6

Portanto:
Um hexo é uma soma de ímpares.
h6 = i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + 6 x i6

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{ Rosália Rodrigues, 2006 }