Parte 3 : prónicos

Números prónicos (o primeiro e os outros)

Definição { prónico }:
O dobro da unidade é o primeiro prónico;
A soma de um prónico com o par de ordem seguinte é um prónico.
Notação { prónico de ordem n, pn }:
p1 := 2
pn+1 := pn + 2(n+1)
p6 = p5 + 2 x 6

Propriedade:
O prónico de ordem n é a soma dos n primeiros pares.
Notação:
pn = 2 + 2 x 2 + 2 x 3 + ... + 2 x n
Porque:
O primeiro prónico é o primeiro par;
O prónico de ordem n+1 é a soma dos n primeiros pares,
somada com o par de ordem n+1.
p6 = 2 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5 + 2 x 6

Portanto:
Todos os prónicos são pares.

Propriedade:
O dobro do triângulo de ordem n é o prónico de ordem n.
Notação:
2 x tn = pn
Porque:
O dobro do primeiro triângulo é o primeiro prónico;
Para passar ao dobro do triângulo seguinte,
é necessário somar duas vezes o número seguinte.
2 x t4 = p4
2 x t5 = 2 x t4 + 2 x 5 = p5

Portanto:
A soma dos n primeiros números é metade do prónico de ordem n.
Notação:
1 + 2 + 3 + ... + n = pn / 2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = p6 / 2

Propriedade:
A soma de um prónico com o número seguinte é o quadrado de ordem seguinte.
Notação:
pn + (n+1) = (n+1)2
p5 + 6 = 62
Porque:
A soma do primeiro prónico com o segundo número é o segundo quadrado;
Para passar à soma seguinte é necessário juntar o próximo par e mais a unidade,
ou seja o próximo ímpar.
p4 + 5 = 52
p5 + 6 = (p4 + 2 x 5) + 6
          = 52 + 5 + 6 = 52 + i6

Portanto:
O dobro de um triângulo mais o número seguinte é o quadrado de ordem seguinte.
Notação:
2 x tn + (n+1) = (n+1)2
2 x t5 + 6 = 62

Propriedade:
A soma do quadrado de ordem n com n, é o prónico de ordem n.
Notação:
n2 + n = pn
62 + 6 = p6

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{ Rosália Rodrigues, 2006 }