Parte 4 : quadros e tetros

Números quadros (o primeiro e os outros)

Definição { quadro }:
O primeiro quadro é o oitavo número;
A soma de um quadro com oito unidades é um quadro.
Notação { quadro de ordem n, qn }:
q1 := 8
qn+1 := qn + 8

Propriedade:
O quadro de ordem n é oito vezes a unidade.
Notação:
qn = 8 x n

Propriedade:
Um quadro é a soma de dois ímpares consecutivos.
Notação:
qn = i2 n + i2 n + 1
q3 = i6 + i7

Propriedade:
A diferença dos quadrados de dois ímpares consecutivos é um quadro.
Notação:
in+12 - in2 = qn
i42 - i32 = 72 - 52 = q3
Porque:
(k+1)2 - (k-1)2 = ik+1 + ik
com k = 2 n
Portanto:
in2 + qn = in+12
i32 + q3 = i32 + i7 + i6
            = i32 + q3 = i42
52 + 13 + 11 = 72

Portanto:
A soma dos primeiros quadros consecutivos com a unidade é um quadrado de ordem ímpar.
Notação:
1 + q1 + q2 + ... + qn = in+12
1 + q1 + q2 + q3 + q4        = i52 = 92
1 + q1 + q2 + q3 + q4 + q5 = i62 = 112

Portanto:
Um quadrado de ordem ímpar é a soma de oito triângulos com a unidade.
Notação:
in+12 = 8 x tn + 1
i82 = 8 x t7 + 1
Porque:
q1 + q2 + ... + qn = 8 x (1 + 2 + ... + n)

Portanto:
Um quadrado de ordem ímpar é a soma de quatro prónicos com a unidade.
Notação:
in+12 = 4 x pn + 1
i82 = 4 x p7 + 1

Portanto:
Um quadrado de ordem ímpar é a soma de quatro quadrados com quatro números e a unidade.
Notação:
in+12 = 4 x n2 + 4 x n + 1
i82 = 4 x 72 + 4 x 7 + 1

Portanto:
Um quadrado de ordem ímpar é a soma de oito triângulos.
Notação:
in+12 = tn+1 + tn-1 + 6 x tn
i82 = t8 + t6 + 6 x t7

Números tetros (o primeiro e os outros)

Definição { tetro }:
O primeiro tetro é o quarto número;
A soma de um tetro com quatro unidades é um tetro.
Notação { tetro de ordem n, rn }:
r1 := 4
rn+1 := rn + 4

Propriedade:
O tetro de ordem n é quatro vezes a unidade.
Notação:
rn = 4 x n

Propriedade:
Um tetro é a soma de dois ímpares consecutivos.
Notação:
rn = in + in+1
r4 = i4 + i5

Portanto:
A soma de um quadrado com um tetro é um quadrado.
Notação:
n2 + rn+1 = (n+2)2
42 + r5 = 42 + i5 + i6 = 62

Propriedade:
Um tetro de ordem par é um quadro.
Notação:
r2 n = qn
r8 = q4
Portanto:
Um quadro é o dobro de um tetro.
Notação:
qn = 2 x rn
q4 = 2 x r4

Propriedade:
A soma dos primeiros tetros de ordem par com a unidade é um quadrado de ordem ímpar.
A soma dos primeiros tetros de ordem ímpar é um quadrado de ordem par.
Notação:
r2 + r4 + ... + r2n + 1 = in+12
r1 + r3 + ... + r2n-1 = (2 n)2
r2 + r4 + r6 + r8 + r10 + 1 = i62
r1 + r3 + r5 + r7 + r9 = (2 x 5)2

Portanto:
Um quadrado de ordem par é quatro vezes um quadrado.
Notação:
(2 x n)2 = 4 x n2
(2 x 5)2 = 4 x 52

Portanto:
Um quadrado de ordem par é a soma de seis triângulos com quatro pares.
Notação:
(2 x n)2 = 6 x tn-1 + 4 x 2 x n
(2 x 5)2 = 6 x t4 + 4 x 2 x 5

Portanto:
Um quadrado de ordem par é a soma de quatro prónicos com quatro números.
Notação:
(2 x n)2 = = 4 x pn-1 + 4 x n
(2 x 5)2 = 4 x p4 + 4 x 5

Portanto:
Um quadrado de ordem par é a soma de oito triângulos com quatro números.
Notação:
(2 x n)2 = 8 x tn-1 + 4 x n
(2 x 5)2 = 8 x t4 + 4 x 5

Portanto:
Um quadrado de ordem par é a soma de oito triângulos.
Notação:
(2 x n)2 = 4 x tn + 4 x tn-1
(2 x 5)2 = 4 x t5 + 4 x t4

Propriedade:
A soma dos primeiros n tetros é quatro triângulos de ordem n.
Notação:
r1 + r2 + ... + rn = 4 x tn
r1 + r2 + r3 + r4 + r5 = 4 x t5
Porque:
Somar o próximo tetro equivale a somar o próximo número a cada triângulo.
r1 + r2 + r3 + r4 = 4 x t4
r1 + r2 + r3 + r4 + r5
        = 4 x t4 + 4 x 5 = 4 x t5
Portanto:
A soma dos primeiros n tetros é dois prónicos de ordem n.
Notação:
r1 + r2 + ... + rn = 2 x pn
r1 + r2 + r3 + r4 + r5 = 2 x p5

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{ Rosália Rodrigues, 2006 }