Uma outra visão dos tetros:

Parte 5 : diamantes

Números quadrados centrados - diamantes (o primeiro e os outros)

Definição { diamante }:

A unidade é o primeiro diamante;
A soma de um diamante com um tetro da mesma ordem é um diamante.

Notação { diamante de ordem n, d_n }:

d₁ := 1
d_n+1 := d_n + r_n

d₅ := d₄ + r₄

Portanto:

A soma dos primeiros tetros consecutivos com a unidade é um diamante.

Notação:

1 + r₁ + r₂ + ... + r_n = d_n+1

1 + r₁ + r₂ + r₃ + r₄ + r₅ = d₆

Portanto:

Um diamante é a soma de quatro triângulos iguais com a unidade.

Notação:

d_n+1 = 4 x t_n + 1

d₆ = 4 x t₅ + 1

Porque:

r₁ + r₂ + ... + r_n = 4 x (1 + 2 + ... + n)

Portanto:

Um diamante é a soma de quatro triângulos iguais com quatro números mais a unidade.

Notação:

d_n+1 = 4 x t_n-1 + 4 x n + 1

d₆ = 4 x t₄ + 4 x 5 + 1

Portanto:

Um diamante é a soma de quatro triângulos.

Notação:

d_n+1 = t_n+1 + 2 x t_n + t_n-1

d₆ = t₆ + 2 x t₅ + t₄

Portanto:

Um diamante é a soma de dois quadrados consecutivos.

Notação:

d_n+1 = (n+1)² + n²

d₆ = 6² + 5²

Porque:

t_n+1 + t_n = (n+1)²

Portanto:

Um diamante é uma soma de ímpares consecutivos.

Notação:

d_n+1 = i₁ + i₂ + ... + i_n + i_n+1 + i_n + ... + i₂ + i₁

Propriedade:

O dobro de um diamante é um quadrado de ordem ímpar mais a unidade.

Notação:

2 x d_n = i_n² + 1

2 x d₆ = i₆² + 1

Porque:

d_n = 4 x t_n-1 + 1
i_n² = 8 x t_n-1 + 1

d₆ = 4 x t₅ + 1
i₆² = 8 x t₅ + 1

Portanto:

Um diamante é metade da soma de um quadrado de ordem ímpar com a unidade.

d₆ = (i₆² + 1) / 2

Recordando uma propriedade dos tetros,

A soma dos primeiros tetros de ordem par com a unidade é um quadrado de ordem ímpar.
A soma dos primeiros tetros de ordem ímpar é um quadrado de ordem par.

obtemos outra visão da propriedade:

Um diamante é a soma de dois quadrados consecutivos.

bem como da propriedade:

O dobro de um diamante é um quadrado de ordem ímpar mais a unidade.

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{ Rosália Rodrigues, 2006 }