anova a 1 fator

A ANOVA é uma técnica baseada em análise de variância usada para comparar médias de várias populações independentes. Cada população é definida por um fator (uma v.a. indepedente) cujos valores definem «grupos», por exemplo, se a «região do país» é o fator, então norte, centro e sul são os grupos fixos (pré-determinados) antes da experiência. Se o fator é uma temperaturapode existir lugar a sorteamento gerando valores de um domínio. Neste caso chama-se de anova de efeitos aleatórios.

exemplos

Quandos os valores da v.a. X são pre-determinada antes da experiência diz-se que é uma anova de efeitos fixos (i.e., grupos fixos).

Assim, fatores fixos, ou efeitos fixos, é quando os tratamentos/grupos/níveis são pré-determinados à partida temos uma experiência com efeitos fixos.

exemplo 1: ANOVA 1 fator - efeitos fixos

Como o objetivo de estudar o efeito do tipo de dieta (X1, variá- vel independente, categorizada) no peso corporal (Y, variável dependente, numérica) de animais de uma determinada espé- cie, foram estudados cinquenta animais distribuídos ao acaso por 5 grupos (5 níveis) onde cada grupo ficou sujeito a um tipo de dieta alimentar.

Assume-se: Peso corporal = função (tipo de dieta)

Conjetura a testar: O peso médio corporal é diferente nos 5 grupos de animais sujeitos às 5 dietas distintas.

exemplo 2: ANOVA 1 fator - efeitos fixos

Quinze amostras de uma espécie de planta foram distribuídas ao acaso por 3 locais distintos (X, variável independente, nominal) e, para cada amostra, foi analisado o conteúdo de fósforo (Y, variável dependente, contínua).

Assume-se Conteúdo de fósforo=função (local)

Objetivo: Avaliar o efeito do local na quantidade média de fósforo na planta.

estatística descritiva na ANOVA

• Caixa-de-bigodes comparativas

• Diagrama de médias e erros

pressupostos (conceitos)

Uma ANOVA a 1 fator realiza-se quando se têm k grupos de observações independentes (k amostras) sendo as amostras, de cada grupo, independentes entre si.

Para que esse teste seja paramétrico (o melhor mais potente é com a ANOVA paramétrica) então:

1. O planeamento deve ser equilibrado, isto é, os grupos devem ter a mesma dimensão n.

   • o número total de observações é $N=k \times n$

2. Cada grupo de observações deve ser bem modelado por uma distribuição normal (há auotes com consideram que a amostra no seu todo deve ser bem modelada por uma distribuição normal).

   • ver ajustamento à normal para procedimentos e conceitos relacionados

3. A variância das k subpopulações não deve diferir significativamente, isto é, deve existir homogeneidade de variâncias entre grupos.

   • ver homogeneidade das variâncias dos grupos

análise de variância (anova)

• $MS_G$ é proporcional à variabilidade da média das observações $Y_{i\cdot}$ em cada grupo. O fator é o principal responsável por esta variabilidade.

• $MS_E$ é a possivelmente pequena variabilidade usual dos «erros» num modelo devida natureza dos fenómenos (tudo é processo logo não há duas entidades iguais).

procedimento

ANOVA paramétrica a 1 fator:

1. Identificar as populações e hipóteses

A população é vista como k subpopulações.

• identificar o fator (X) que divide a população em k subpopulações (k grupos/níveis/tratamentos)

• a variável de resposta (Y)

• indicar se são efeitos fixos ou aleatórios

• escrever as hipóteses

2. Estatística descritiva e validação de pressupostos

Útil para se ficar com uma ideia gráfica de qual hipótese será escolhida.

• estatística descritiva

  • boxplot

  • gráfico de médias e erros

  • gráficos de IC

• validação dos pressupostos

  • mesma dimensão (planeamento equilibrado)

  • qqplot normal

  • Bartlett test (apenas se dados normais)

3. Metódo de teste

Não é fácil realizar o teste «à mão» devido aos elevado número de somas e quadrados.

Exemplo de tabela:

	Sum of Squares	df	Mean Square	$F_{obs}$	valor-p
Between Groups	$SS_G=100.667$	$g-1=2$	$MS_G=50.333$	$26.647$	$0.0$
Within Groups	$SS_E=17.0$	$g(n-1)=9$	$MS_E=1.889$
Total	$SS_T=117.667$	$ng-1=11$

Alguns aspetos são apresentados:

• Estatística de teste

  • F para comparação de duas variâncias

• Valor observado

  • aquela big tabela

• p-value

  • p = P(F>fobs)

4. Conclusão e Interpretação

Usa-se o método do p-value.

• rejeitando H0: existe pelo menos uma média significativamente diferente das outras

• não rejeitando H0: as médias não são significativamente diferentes

5. Comparação de pares

Apenas para «efeitos fixos».

• método de Bonferroni

• método de Tukey

Nota: não se aplica a efeitos aleatórios.

R Project

ANOVA paramétrica a 1 fator em R (online):

São 3 grupos (A,B,C) e n=5 observações por grupo fixo:

xxxxxxxxxx

 

1

# Introdução das colunas (aqui como linhas):

2

        # "perda_peso" em função do "medicamento"

3

dados = data.frame(

4

     perda_peso=c(

5

          #11 observações medicamento A

6

        3.0, 3.1, 3.1, 2.9, 3.6, 3.1, 2.8, 3.5, 3.6, 3.1, 2.7,

7

          #11 observações medicamento B

8

        2.9, 2.9, 2.9, 2.1, 2.0, 3.5, 2.9, 3.4, 2.4, 2.6, 2.1,

9

          #11 observações medicamento C

10

        3.1, 3.0, 3.2, 3.1, 3.1, 3.1, 2.7, 3.5, 3.9, 2.6, 2.5),

11

     medicamento=c( rep("A",11),  #repetir "A" 11 vezes

12

                    rep("B",11),  #repetir "B" 11 vezes

13

                    rep("C",11) ) #repetir "C" 11 vezes

14

)

15

​

16

modelo = aov(perda_peso ~ medicamento, data=dados)

17

summary(modelo)

Correr o código em R

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

Verificação dos pressupostos da ANOVA paramétrica a 1 fator:

Caixas de bigodes comparativas

xxxxxxxxxx

 

1

# Introdução das colunas (aqui como linhas):

2

        # "perda_peso" em função do "medicamento"

3

dados = data.frame(

4

     perda_peso=c(

5

          #11 observações medicamento A

6

        3.0, 3.1, 3.1, 2.9, 3.6, 3.1, 2.8, 3.5, 3.6, 3.1, 2.7,

7

          #11 observações medicamento B

8

        2.9, 2.9, 2.9, 2.1, 2.0, 3.5, 2.9, 3.4, 2.4, 2.6, 2.1,

9

          #11 observações medicamento C

10

        3.1, 3.0, 3.2, 3.1, 3.1, 3.1, 2.7, 3.5, 3.9, 2.6, 2.5),

11

     medicamento=c( rep("A",11),  #repetir "A" 11 vezes

12

                    rep("B",11),  #repetir "B" 11 vezes

13

                    rep("C",11) ) #repetir "C" 11 vezes

14

)

15

​

16

    # Construir caixas de bigodes comparativas

17

boxplot( perda_peso ~ medicamento,

18

          data=dados, pch=20,

19

          main="Caixas de bigodes comparativas",

20

          xlab="marca",

21

          ylab="teor",

22

          col="lightgray")

Correr o código em R

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

Ajustamento à Normal

xxxxxxxxxx

 

1

# Introdução das colunas (aqui como linhas):

2

        # "perda_peso" em função do "medicamento"

3

dados = data.frame(

4

     perda_peso=c(

5

          #11 observações medicamento A

6

        3.0, 3.1, 3.1, 2.9, 3.6, 3.1, 2.8, 3.5, 3.6, 3.1, 2.7,

7

          #11 observações medicamento B

8

        2.9, 2.9, 2.9, 2.1, 2.0, 3.5, 2.9, 3.4, 2.4, 2.6, 2.1,

9

          #11 observações medicamento C

10

        3.1, 3.0, 3.2, 3.1, 3.1, 3.1, 2.7, 3.5, 3.9, 2.6, 2.5),

11

     medicamento=c( rep("A",11),  #repetir "A" 11 vezes

12

                    rep("B",11),  #repetir "B" 11 vezes

13

                    rep("C",11) ) #repetir "C" 11 vezes

14

)

15

​

16

    # Expectável que os pontos se encontrem relativamente próximos da reta.

17

qqnorm(dados$perda_peso, pch=20, main="Perdas de peso em toda a amostra - Ajustamento à Normal")

18

    #Adiciona uma reta ao QQ_plot da normal

19

qqline(dados$perda_peso, col="red")

20

​

21

     # Via inferencial

22

shapiro.test(dados$perda_peso)

Correr o código em R

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

Homogeneidade de variâncias

xxxxxxxxxx

 

1

# Introdução das colunas (aqui como linhas):

2

        # "perda_peso" em função do "medicamento"

3

dados = data.frame(

4

     perda_peso=c(

5

          #11 observações medicamento A

6

        3.0, 3.1, 3.1, 2.9, 3.6, 3.1, 2.8, 3.5, 3.6, 3.1, 2.7,

7

          #11 observações medicamento B

8

        2.9, 2.9, 2.9, 2.1, 2.0, 3.5, 2.9, 3.4, 2.4, 2.6, 2.1,

9

          #11 observações medicamento C

10

        3.1, 3.0, 3.2, 3.1, 3.1, 3.1, 2.7, 3.5, 3.9, 2.6, 2.5),

11

     medicamento=c( rep("A",11),  #repetir "A" 11 vezes

12

                    rep("B",11),  #repetir "B" 11 vezes

13

                    rep("C",11) ) #repetir "C" 11 vezes

14

)

15

    # Averiguar a homogeneidade de variâncias

16

    # Teste de Bartlett

17

 bartlett.test(perda_peso ~ medicamento, data=dados)

Correr o código em R

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

Comparações múltiplas com Método de Tukey (que pares podem ser significativamente diferentes):

xxxxxxxxxx

 

1

# Introdução das colunas (aqui como linhas):

2

        # "perda_peso" em função do "medicamento"

3

dados = data.frame(

4

     perda_peso=c(

5

          #11 observações medicamento A

6

        3.0, 3.1, 3.1, 2.9, 3.6, 3.1, 2.8, 3.5, 3.6, 3.1, 2.7,

7

          #11 observações medicamento B

8

        2.9, 2.9, 2.9, 2.1, 2.0, 3.5, 2.9, 3.4, 2.4, 2.6, 2.1,

9

          #11 observações medicamento C

10

        3.1, 3.0, 3.2, 3.1, 3.1, 3.1, 2.7, 3.5, 3.9, 2.6, 2.5),

11

     medicamento=c( rep("A",11),  #repetir "A" 11 vezes

12

                    rep("B",11),  #repetir "B" 11 vezes

13

                    rep("C",11) ) #repetir "C" 11 vezes

14

)

15

​

16

modelo = aov(perda_peso ~ medicamento, data=dados)

17

​

18

    # Post-hoc

19

    # Método de Tukey

20

TukeyHSD(modelo)

Correr o código em R

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

Comparações múltiplas com Bonferroni (que pares podem ser significativamente diferentes):

xxxxxxxxxx

 

1

# Introdução das colunas (aqui como linhas):

2

        # "perda_peso" em função do "medicamento"

3

dados = data.frame(

4

     perda_peso=c(

5

          #11 observações medicamento A

6

        3.0, 3.1, 3.1, 2.9, 3.6, 3.1, 2.8, 3.5, 3.6, 3.1, 2.7,

7

          #11 observações medicamento B

8

        2.9, 2.9, 2.9, 2.1, 2.0, 3.5, 2.9, 3.4, 2.4, 2.6, 2.1,

9

          #11 observações medicamento C

10

        3.1, 3.0, 3.2, 3.1, 3.1, 3.1, 2.7, 3.5, 3.9, 2.6, 2.5),

11

     medicamento=c( rep("A",11),  #repetir "A" 11 vezes

12

                    rep("B",11),  #repetir "B" 11 vezes

13

                    rep("C",11) ) #repetir "C" 11 vezes

14

)

15

​

16

modelo = aov(perda_peso ~ medicamento, data=dados)

17

​

18

​

19

    #Método de Bonferroni

20

    # NOTA: se se assume igualdade de variâncias

21

    #       então pool.sd=T, senão pool.sd=F

22

pairwise.t.test(dados$perda_peso, dados$medicamento, p.adjust="bonferroni", pool.sd = T)

Correr o código em R

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

Outro exemplo:

• Começa-se por introduzir os dados num data.frame.

• A função rep(a,n) que repete «a» por n vezes auxilia na introdução dos tipos de habitat de cada porco ibérico observado.

dados = data.frame(
        habitat=c( rep(1,5),rep(2,5),rep(3,5) ),
        peso=c( 45, 53, 57, 48, 60, 72, 75, 85,
                81, 74, 65, 61, 51, 55, 63)  )
dados

Com o data.frame, invoca-se a função aov para efetuar uma ANOVA, em que o peso é função do habitat peso ~ habitat:

resultado = aov(peso ~ habitat,data=dados)
summary(resultado)