Uma Contribuição para o Problema da Coloração de Pombinhas

Coriolano Columbofilus

1 O Problema

O Problema da Coloração de Pombinhas, habitualmente designado por DCP (do inglês Dove Coloring Problem) tem vindo a ser abordado por um número indeterminado de matemáticos e não só. Não existindo, ainda, uma recolha bibliográfica sistemática sobre o tema, torna-se difícil estabelecer com exactidão a data da sua origem e até o nome do autor pioneiro a quem tão justamente são devidos os créditos. A própria definição do Problema não é, ainda, consensual e muito menos a sua correcta formulação.

Neste trabalho é apresentado um resultado original que vem lançar uma nova perspectiva para a resolução do Problema.

2 A Unicidade da Côr

Teorema 2.1 (ou da Unicidade) Para qualquer n finito, ou infinito numerável, seja C(n) a seguinte proposição:

C(n) = {Em qualquer conjunto de n pombinhas, todas têm a mesma côr}

Demonstração por Indução:

• A proposição C(1) é evidente.

• Assumindo a proposição C(n) verdadeira, tomemos um conjunto de n + 1 pombinhas que colocamos em fila:

\underbrace{P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P}_{n+1}

Destas, por hipótese de indução, as n primeiras possuem a mesma côr,

\underbrace{P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P}_{n} P

bem como as n últimas.

P \underbrace{P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P}_{n}

O conjunto das n + 1 pombinhas possui manifestamente a mesma côr, assim se garantindo a veracidade de C(n+1) e, consequentemente, fica demonstrado o Teorema.

q.e.d.

3 Conclusões

Ficando portanto assim estabelecida a Unicidade da Côr das Pombinhas, permanece em aberto a questão fulcral da identificação dessa mesma Côr. Este não é, todavia, um problema de fácil abordagem, nem estando mesmo garantida a sua Decidibilidade. Recorde-se que nem sequer está resolvido o importante problema da determinação da Cardinalidade do conjunto de todas as cores possíveis.

Parece lícito assumir que, após esta modesta Contribuição, o interesse da comunidade científica associado ao Problema da Coloração de Pombinhas (DCP) não venha a diminuir.