Primeiro Encontro Português de Teoria dos Números

A demonstração de Wiles da modularidade de curvas elipticas semistaveis e do Último Teorema de Fermat iniciou uma nova era no estudo das equações Diofantinas. Durante os últimos 25 anos, esta estratégia tem sido expandida com o objetivo de, em particular, estudar a equação de Fermat Generalizada Ax^r + By^q = Cz^p. Nesta palestra vamos introduzir este método e discutir as suas limitações. Por fim vamos ver uma possível generalização que permite atacar a EFG onde as curvas elipticas são substituídas por variedades abelianas de dimensão superior.

Serão descritas algumas das principais propriedades aritméticas de dois subanéis dos quaterniões, o anel dos inteiros de Lipschitz e o anel dos inteiros de Hurwitz, mostrando como estes anéis têm sido recentemente usados para resolver alguns problemas diofantinos, nomeadamente a chamada conjectura 1-3-5 de Zhi-Wei Sun, uma generalização do resultado clássico de que todo número natural é uma soma de quatro quadrados. Além disso, serão mencionadas algumas especulações sobre a possibilidade (para já remotas) de fatorizar inteiros racionais usando algumas conexões intrigantes entre a aritmética e propriedades geométricas dos quaterniões.

A forma como os divisores positivos de um inteiro N estão distribuídos ao longo do intervalo [1, N] tem sido alvo de um número significante de estudos científicos, mas ainda há muitas questões em aberto. Claramente, se considerarmos os logaritmos destes divisores, haverá metade menores que log(N)/2 e metade maiores que este valor, e portanto os seus logaritmos aparentam estar bem distribuídos no intervalo [1, \log(N)]. Quando se considera apenas divisores primos, um teorema de Erd\v{o}s, mostra que há de facto alguma regularidade tendo-se, quase sempre \log(\log(p_i))\sim i, onde p_1< \dots < p_k são os divisores primos de N. Mas, quando consideramos todos os divisores há zonas de aglomeração e zonas desertas, para quase todos os inteiros, como demonstram resultados de Hall e Tenenbaum e de Maier e Tenenbaum. Nesta palestra iremos estudar alguns inteiros, nomeadamente os números de Fermat, que têm um deserto de divisores junto à sua raiz quadrada.

As curvas elípticas jogam um papel muito importante em diferentes aspetos da teoria de números moderna. Um problema importante é encontrar geradores para o conjunto do seus pontos racionais. Nesta palestra vamos a mostrar como (sob certa hipótese) obter cotas para o número de geradores em termos do grupo de classes de um corpo de números. Se houver tempo, vamos mostrar um resultado similar para o estudo do rango de curvas hiper-elípticas.

Since Fermat's Last Theorem was proved in $1995$, there has been a considerable improvement in solving similar diophantine equations. Through the consecutive years, similar techniques and results were developed to verify the non-existance of non-trivial primitive solutions to a more general equation $Ax^p + By^q = Cz^r$, for certain parameters. In this talk, we will introduce the methods and results used to solve them. More concretely, we will focus on solutions on the equation $x^2 + dy^6 = z^p$ for some values of $ 1 \leq d \leq 20$. This is based on works in collaboration with Ariel Pacetti and Lucas Villagra.

Um número é perfeito se é igual à soma dos seus divisores próprios. Em "Elementos" de Euclides é mostrado que se 2^p-1 é primo então 2^(p-1)*(2^p-1) é perfeito e, cerca de dois mil anos depois, em "De numeris amicabilibus", Euler prova que todo o perfeito par tem a forma de Euclides. Nesta apresentação começamos por estudar as equações diofantinas exponenciais 2^a - F_n^b = -1 e 2^a - F_n^b = 2^c - 1, onde F_n é o enésimo número de Fermat (n=0,1,2,3,4). De seguida, com base nas soluções destas equações, generalizamos o Teorema de Euclides-Euler para números 2*F_n / (F_n -1)-perfeitos e divisíveis por F_n, obtendo algumas condições interessantes sobre estes números.